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1 引言

数理统计课程是统计学及众多相关专业的核心必修课，其重要性源于在知识构建、能力培养和目标达成三个方面不可替代的战略价值。它不仅是知识体系中的重要一环，更是承前启后的关键枢纽，是培养科学思维和解决实际问题能力的重要平台。通过本课程的学习，学生应掌握数理统计的基本知识和原理，理解数据分析的基本思想和方法，具备严谨的数据处理和统计分析能力，为从事科学研究、解决实际问题及统计建模奠定坚实基础。然而，在数理统计的传统教学范式下，其教学过程往往被繁琐的公式演绎、抽象的定理证明与大量复杂的数值计算所主导。这种侧重于纯理论推导的教学模式，极易导致课堂氛围枯燥乏味，致使部分学生产生畏难情绪，进而逐渐丧失学习兴趣与主动性。更深层次的问题在于，由于教学过程中直观性与交互性的普遍缺失，学生对于许多核心统计思想的理解往往停留在“知其然不知其所以然”的层面。例如，在讲授“样本均值的抽样分布趋近于正态分布”这一中心极限定理时，学生由于无法目睹随着样本量增大，分布形态动态收敛于钟形曲线的过程，仅能被动接受结论，因而对其合理性与普适性心存疑虑。又如，在阐释假设检验中的“p值”这一核心概念时，传统的讲授方式难以将其“在原假设成立的前提下，观察到当前样本数据或更极端情况的概率”这一定义，转化为一个清晰可视的尾部概率面积。学生只能机械记忆“p<0.05则拒绝原假设”的准则，而无法从统计推断的本质上理解p值作为衡量证据强度尺度的真正意义，最终陷入“概念混淆、应用僵化”的困境。

在此背景下，引入高效、直观的计算工具辅助教学，已成为推动数理统计教学改革的重要路径。MATLAB作为全球范围内应用最为广泛的高性能科学计算软件之一，凭借其一系列核心优势，在数理统计的教学与学习等领域中，是一款不可多得的强大辅助工具［1-3］。首先，MATLAB的优势体现为工程化的简洁性，它以矩阵为基本数据单元，语法风格高度接近于数学公式的标准书写形式，这极大地降低了学生的编程门槛。其次，MATLAB具有计算的高效性与环境的集成性，能够快速处理大规模数值计算。最重要的是，MATLAB具有强大的可视化功能，能够轻松地将抽象的理论与枯燥的数据转化为生动的二维、三维乃至动态图形。无论是绘制概率分布曲线、展示中心极限定理的收敛过程，还是可视化假设检验，都能将数理统计中“只可意会”的核心思想变为“清晰可见”的直观影像，从根本上深化学生的理解，是传统“黑板+PPT”教学模式无法比拟的卓越辅助［4-6］。

本文拟结合具体教学案例，如样本均值的分布、假设检验的p值，系统探讨MATLAB在数理统计教学中的应用，并分析其在提升教学效果和深化学生理解能力的作用，从而推动数理统计课程教学的多样化发展。

2 MATLAB在数理统计教学中的具体应用案例

为解决数理统计中概念和定理抽象难懂的问题，下面将展示MATLAB如何将抽象的数学定理转化为直观的视觉呈现，从而有效提高教学效果，帮助学生更深入地理解知识本质。

2.1 样本均值的分布

定理1：设x1，x2，……，xn是来自某个总体的样本，x为样本均值。

（1）若总体分布为正态分布N（μ，σ2），则x的精确分布为N（μ，σ2/n）；

（2）若总体分布未知或不是正态分布，其期望为μ，方差为σ2且存在，则当n较大时x的渐进分布为N（μ，σ2/n）[7]。

该定理指出，无论总体服从何种分布，只要样本容量足够大，样本均值就近似服从正态分布。为验证此结论，本研究利用MATLAB进行了如下实验：

首先，自正态总体N（1，4）中随机生成60万个数据，将其分为2万组，每组30个数据。使用以下代码实现：

n = 30; % 样本容量

total_groups = 20000; % 组数

mu = 1; % 总体均值

sigma = 2; % 总体标准差

total_samples = total_groups * n;

data = mu + sigma * randn(total_samples, 1);

data_reshaped = reshape(data, n, total_groups);

其次，对每一组样本的30个数据求其样本均值。代码如下：

sample_means = mean(data_reshaped);

最后，利用MATLAB中的histogram 函数画出全部数据的直方图，如图1所示，样本均值的直方图如图2所示。此外，为了与正态分布进行对比，本研究还用normpdf函数分别画出了总体和样本的理论正态分布的概率密度图。

图 1 总体分布N（1，4）

Figure 1 The population distribution N(1, 4)

图 2 样本均值分布（N=30）

Figure 2 The sampling distribution of the sample mean (N=30)

图1绘制了全部原始数据的直方图及其理论概率密度曲线，图2展示了2万个样本均值的直方图及其理论正态分布密度曲线。结果表明，当总体分布为正态分布时，其样本均值也服从一个正态分布，这验证了定理1中的第（1）条结论。

为验证定理1的第（2）条结论，使用MATLAB的rand函数从均匀分布U（1，5）中生成60万个数据，并分成2万组，具体代码如下：

n = 30; % 样本容量

total_groups = 20000; % 组数

total_samples = total_groups * n;

a = 1; % 均匀分布下限

b = 5; % 均匀分布上限

data = a + (b - a) * rand(total_samples, 1); % 从均匀分布抽样

data_reshaped = reshape(data, n, total_groups);

随后，本研究针对均匀分布总体U（1，5）重复了图1、图2中的实验（如图3、图4所示），结果支持了定理1中的第（2）条结论，表明即便总体为非正态分布，其样本均值也收敛于正态分布。

图 3 总体分布U（1，5）

Figure 3 The population distribution U(1, 5)

图 4 样本均值分布（N=30）

Figure 4 The sampling distribution of the sample mean (N=30)

2.2 假设检验的p值

定义1：在一个假设检验问题中，利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著水平称为检验的p值。

p值的决策规则为：如果p<α，则在显著性水平α下拒绝原假设H0；反之，如果p>α，则在显著性水平α下接受原假设H0。实际中，p值很小时（如p≤0.001）即可拒绝原假设，p值很大时（如p>0.5）即可接受原假设，只有当p值与α接近时才需要比较[7]。

尽管p值是假设检验的核心，但其概念非常抽象。学生常常产生困惑，如“显著性水平α究竟在检验统计量概率密度图中的哪个位置？”“p值很小，为什么就能拒绝原假设？”，为此，本研究借助MATLAB进行可视化展示，以阐明p值的真实含义。

在一个假设检验问题中，p值是在原假设成立的前提下，获得当前样本观测结果或更极端结果的概率。如图5所示，p值具体表现为从观测t统计量（黑色实线）向右延伸的尾部区域面积。当p值很小（如p=0.035）时，表明若原假设成立，则当前样本结果出现的概率极低（仅3.5%）。由于p值小于显著性水平α=0.05，而观测t统计量落入了拒绝域（红色虚线以右的区域），这表明小概率事件在一次抽样中实际发生，从概率角度分析是不太可能的，从而使得本研究有理由怀疑原假设的真实性。因此，p值越小，反对原假设的证据就越强，该图通过p值区域与拒绝域的位置关系，直观解释了假设检验的决策逻辑。

图5的MATLAB代码如下：

clear; clc;

%% 设置检验参数

mu0 = 100; % 原假设的总体均值

alpha = 0.05; % 显著性水平

% 样本数据

sample_data = [102.5, 103.2, 101.8, 104.1, 102.9, 103.5, 101.2, 104.8, 102.1, 103.9];

%% 计算统计量

n = length(sample_data); % 样本容量

x_bar = mean(sample_data); % 样本均值

s = std(sample_data); % 样本标准差

% 计算观测到的t检验统计量

t_observed = (x_bar - mu0) / (s / sqrt(n);

% 计算p值 (右侧检验)

df = n - 1; % 自由度

p_value = 0.035; % 直接设定p值为0.035

t_observed = tinv(1 - p_value, df); % 根据p值反推t统计量

figure(‘Position’, [100, 100, 900, 500]);

set(gcf, ‘Color’, ‘w’);

% 生成t分布曲线

x = linspace(-3, 3.5, 1000);

y = tpdf(x, df);

% 绘制t分布曲线

plot(x, y, ‘b-’, ‘LineWidth’, 2.5);

hold on

xlabel(‘检验统计量 t 的值’, ‘FontSize’, 12);

ylabel(‘概率密度’, ‘FontSize’, 12);

grid on;

% 计算临界值

t_critical = tinv(1 - alpha, df);

% 绘制临界值线（红色虚线）

critical_line = line([t_critical, t_critical], [0, tpdf(t_critical, df)], ...

‘Color’, ‘r’, ‘LineStyle’, ‘--’, ‘LineWidth’, 2);

% 绘制观测到的t统计量线（黑色实线）

observed_line = line([t_observed, t_observed], [0, tpdf(t_observed, df)], ...

‘Color’, ‘k’, ‘LineStyle’, ‘-’, ‘LineWidth’, 3);

% 标记拒绝域范围（只在x轴上标记）

reject_region = plot([t_critical, max(x)], [0, 0], ‘r-’, ‘LineWidth’, 8);

% 标记p值范围（只在x轴上标记）

pvalue_region = plot([t_observed, max(x)], [-0.01, -0.01], ‘k-’, ‘LineWidth’, 8);

注：自由度df=9，p=0.035，α=0.05。

图 5 假设检验p值的可视化演示

Figure 5 Visual demonstration of the p-value in hypothesis testing

3 MATLAB在数理统计教学应用中的优势和劣势

在数理统计教学的辅助软件选择中，与Python和R软件相比，MATLAB有独特的优势与局限。其具体优劣势如下。

3.1 MATLAB在数理统计教学应用中的优势

第一，MATLAB（Matrix Laboratory）的基石是矩阵，而数理统计中的许多计算（如回归、主成分分析）本质都是矩阵运算。其底层对线性代数运算进行了极致优化，执行效率非常高。

第二，语法相对简单，特别适合有数学背景的用户快速入门，降低了教学和学习的初始门槛。

第三，MATLAB提供了极其丰富和高质量的可视化函数（如plot、scatter、histogram、surf等），能够轻松绘制2D、3D图形，用于探索性数据分析、分布验证和结果呈现。

第四，在教学中，学生可以轻松地将统计公式（如协方差矩阵X’*X）直接翻译为直观的MATLAB代码，有助于理解计算本质。

第五，利用其高效的随机数生成器（如rand、randn）和向量化计算，可以轻松实现大规模的蒙特卡洛模拟，用于验证统计定理（如中心极限定理）、评估统计量的抽样分布、计算Bootstrap置信区间等。

第六，Histogram Tool等交互式工具，允许学生动态调整参数并立即看到效果，极大地加深了对统计概念（如箱数对分布形态的影响）的理解。

3.2 MATLAB在数理统计教学应用中的劣势

第一，MATLAB是商业软件，个人版和校园版许可价格昂贵。这限制了其在个人学习者或预算有限的学校中的普及。相比之下，R和Python是完全免费的。

第二，对于复杂、不规则的数据整理、清洗和重塑任务，MATLAB的表格（table）类型功能虽然不断进步，但在灵活性和生态丰富性上，仍不及R的tidyverse或Python的pandas生态系统，数据“预处理”体验相对繁琐。

第三，其生态系统主要由MathWorks公司主导，社区贡献的第三方工具箱在数量、多样性和活跃度上，远不及R的CRAN和Python的PyPI。许多最新、小众的或特定领域的统计方法可能只在R或Python中提供。

4 教学实施建议

前文探讨了MATLAB在解决数理统计教学难点中的具体应用，并客观分析了其优劣。然而，要将可视化教学的潜力转化为切实的教学成果，还需制定周密的实施策略。同时，随着技术的发展，也应展望其未来的融合方向。

4.1 分层递进的教学实施建议

为确保MATLAB有效服务于教学，而非增加师生负担，建议采用分层递进的实施路径。

第一，教师主导演示层（初级阶段）：在教学初期，应以教师操作演示为主。教师精心准备可视化案例，在课堂上动态展示关键概念（如中心极限定理的模拟）。此阶段的目标是“化抽象为具体”，激发学生兴趣，降低入门畏难情绪。课件和演示脚本应由教研室统一规划、开发，确保其科学性与教学适配性。

第二，学生模仿验证层（中级阶段）：当学生具备一定基础后，可提供“代码模板”或“函数库”，引导学生开展模仿性、验证性实验。例如，教师提供绘制不同分布曲线的框架代码，学生通过修改参数观察分布形态的变化；或提供假设检验的流程代码，学生代入自有数据验证理论结果。这一阶段旨在巩固理论知识，培养学生的编程动手能力。

第三，项目探究应用层（高级阶段）：在课程中后期，鼓励学生以小组形式开展小型探索性数据分析项目。学生需自主完成从问题定义、数据搜集（或由教师提供）、MATLAB程序编写，到结果分析与报告撰写的全过程。这不仅能让学生综合运用所学统计知识，更能培养他们解决实际问题的能力、团队协作精神和科学素养。教师的角色也将从知识传授者转变为项目指导者和促进者。

4.2 与课程考核方式的融合

教学方法的改革必须辅以考核方式的革新。应突破“一张试卷定乾坤”的传统模式，将MATLAB应用能力纳入形成性评价体系。例如，平时作业中可设置需编程完成的数据分析题；课程中期安排小项目汇报；期末考核亦可引入开卷上机考试，考查学生利用MATLAB解决新问题的能力。这种多元化评价机制，能更全面地反映学生的综合能力，同时引导学生的学习重心从“死记公式”转向“理解与应用”。

5 结语

数理统计课程中的核心概念与定理往往抽象难懂，构成了教学过程中的主要难点。为破解这一困境，本研究通过具体教学实例表明，借助MATLAB强大的计算与可视化功能，能够将抽象的数学定义与定理（如样本均值的分布规律、p值的本质）转化为直观的图形呈现，从而有效化解学生的认知障碍，提升教学成效。将MATLAB融入教学过程，不仅是一种创新的教学手段，更是推动课程从理论灌输向能力培养转型的关键举措。

在大数据时代与产出导向教育理念的驱动下，熟练掌握MATLAB等科学计算工具变得愈发重要。未来，需持续深化教学改革，将此类工具深度嵌入课程体系，使学生能够切实掌握利用技术解决实际问题的能力。

综上所述，对于侧重统计思想直观理解、计算实验与可视化的数理统计教学而言，MATLAB是一个极具价值的平台，它能将抽象的统计概念生动具象化，为学生应对未来的学术与职业挑战奠定坚实基础。

参考文献

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[2] 张清叶，尚邵阳．基于MATLAB的随机性数学思维培养的探索与实践［J］．科技资讯，2022，20（23）：140-143．

[3] 高发玲，姚中华，孙建英．引入MATLAB实验的概率论与数理统计线上线下混合教学的研究与实践［J］．甘肃科技，2022，38（9）：66-68，72．

[4] 敬成林，李宇．MATLAB在数理统计假设检验中的应用［J］．科技资讯，2017，15（17）：214，216．

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[6] 杜世强，刘华．MATLAB在概率论与数理统计课程教学过程中的应用［J］．甘肃科技，2019，35（17）：42-43．

[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程［M］．北京：高等教育出版社，2019．