重庆工商大学数学与统计学院,重庆
“线性代数”作为高等教育的“基石型”课程,其理论体系(行列式、矩阵、向量组、线性方程组、二次型等)是后续学习“概率论与数理统计”“数值分析”“机器学习”等课程的重要前提,也是解决工程计算、数据建模、经济分析等实际问题的核心工具。随着数字经济时代的到来,人工智能、大数据、云计算等技术对“矩阵运算”“线性变换”等线性代数知识的依赖度显著提升。例如,图像识别中像素矩阵的处理、推荐系统中用户—物品评分矩阵的分析、电路设计中节点电压的线性方程组求解,均需以扎实的线性代数基础为支撑[1]。
然而,当前“线性代数”教学仍存在诸多与时代需求脱节的问题:一方面,课程内容以抽象理论推导为主,学生难以理解“向量空间”“相似矩阵”等概念的实际意义,易产生“学无所用”的困惑;另一方面,传统“教师讲授+板书 / PPT”的教学模式缺乏互动性与实践性,学生被动接受知识,软件操作能力(如Matlab处理矩阵)薄弱,难以将理论转化为解决实际问题的能力[2]。
此外,课程思政元素融入不足、考核方式单一等问题,也制约了学生综合素养的培养。
在此背景下,OBE 理念(以学生预期学习成果为导向,强调“以学生为中心”“成果驱动改革”)为线性代数教学改革提供了新思路。本文基于前期教学实践,梳理传统教学的核心问题,构建“目标—单元—策略—考核”闭环的混合式教学模式,通过线上线下联动、案例与思政融合、理论与实践结合,提升课程教学质量,培养符合社会需求的应用型人才。
结合全国多所高校线性代数教学调研数据(涵盖理工科、经管类专业共2000名学生、50名一线教师)及笔者教学经验[2-3,5],当前线性代数教学主要面临以下四方面问题:
线性代数的核心概念(如向量组的线性相关性、线性变换、特征值与特征向量)具有高度抽象性,且需以高等数学的“极限”“函数”知识为基础,逻辑链条严密。例如,学生在学习“向量组的秩”时,仅能记住“秩是向量组中极大线性无关组的个数”这一定义,但无法理解其几何意义(如三维空间中秩为2的向量组对应一个平面),也难以关联后续“线性方程组解的结构”(秩决定解的存在性与解空间维度)。此外,课程中的公式推导(如行列式按行展开定理、逆矩阵的伴随矩阵求法)步骤繁琐,学生易陷入“机械记忆推导过程,忽视原理本质”的误区,导致学习兴趣下降、畏难情绪滋生—调研显示,约65%的学生认为“线性代数比高等数学更难理解”,30%的学生因“听不懂理论”放弃主动学习[3]。
线性代数是一门“应用型极强”的课程,但传统教学多聚焦于理论推导,缺乏与专业场景的结合。一方面,教师授课内容以教材例题为主(如“求解二元线性方程组”“计算 3 阶矩阵的特征值”),未融入学生专业相关的实际案例,例如,对机械专业学生未讲解“机构运动分析中的矩阵变换”,对经管专业学生未涉及“投入产出模型中的线性方程组应用”,导致学生认为“线性代数与未来工作无关”;另一方面,学生软件操作能力不足,仅掌握“手算矩阵”的传统方法,面对大数据时代的“高阶矩阵运算”(如 100 阶以上矩阵求逆)时无从下手。调研显示,仅 15% 的学生能熟练使用Matlab处理矩阵问题,80% 的学生表示“不知道如何用线性代数解决专业中的实际问题”[4]。
线性代数作为纯数理课程,公式与符号占比高,课程思政融入难度显著高于人文社科类课程。传统教学中,教师多专注于知识传授,未挖掘课程中的思政元素:例如,未介绍“中国数学家华罗庚在矩阵论领域的贡献”(如华氏不等式、矩阵几何理论),错失爱国主义教育契机;未通过“线性方程组‘多变量协同求解’”类比“团队协作”,忽视素质培养;未结合“二次型标准化在优化问题中的应用”传递“追求高效、严谨的科学精神”,导致课程缺乏价值引领,难以实现“知识传授与价值塑造同频共振”。
大数据、人工智能时代对线性代数教学提出了新要求。一方面,实际问题中的数据多以“矩阵形式”呈现(如电商平台的用户消费矩阵、医疗领域的患者指标矩阵),需学生掌握“用软件处理海量数据”的能力,但传统教学未将 Matlab等工具纳入课程体系,导致学生毕业后需“重新学习软件操作”;另一方面,教材内容更新缓慢,部分知识点(如“稀疏矩阵的快速运算”“张量代数基础”)未涵盖,而这些内容是人工智能领域的核心基础。例如,深度学习中的“卷积操作”本质是矩阵的卷积运算,传统教材未涉及该应用,导致学生与前沿技术脱节[5]。
OBE 理念的核心是“以学生预期学习成果为导向,反向设计教学环节”。结合线性代数课程特点与社会需求,本文构建“目标—单元—策略—考核”闭环的混合式教学模式,具体设计如下。
基于教育部《高等学校数学基础课程教学基本要求》、学生专业需求(理工科 / 经管类)及社会对人才的能力要求,明确线性代数课程的5 个核心学习目标,确保“知识、能力、素养”三位一体培养[6-7]。
(1)问题导向能力
能从专业场景中识别线性代数问题(如工程中的矩阵变换、经济中的线性方程组),培养独立思考与问题发现能力。
(2)理论理解能力
理解核心概念的本质与逻辑(如向量组的秩的几何意义、特征值的物理意义),掌握行列式、矩阵、线性方程组的基本原理。
(3)方法应用能力
能运用线性代数方法解决实际问题(如用逆矩阵进行密码解密、用二次型标准化优化生产流程)。
(4)软件操作能力
熟练使用 Matlab 处理高阶矩阵、求解线性方程组,掌握数据建模的基本工具。
(5)思政素养能力
了解中国数学家的学术贡献,树立爱国主义精神;通过“协同求解”“严谨推导”培养团队意识与科学精神。
以“学习目标”为指引,参照《线性代数》(同济大学出版社,第7版)教材框架,结合学生专业特点与前沿应用,设计“兼顾理论深度与应用广度”的教学单元,确保各章节逻辑连贯、重点突出。表1为线性代数课程教学单元设计方案(涵盖 5 个核心章节,适配理工科 / 经管类专业)。
表 1 “线性代数”课程教学单元设计
Table 1 Teaching unit design for the “Linear Algebra”course
章节 | 名称 | 教学内容 | 学习目的 |
1 | 行列式 | 1. 二阶 / 三阶行列式定义、n阶行列式 2.行列式性质与展开定理 | 1.掌握行列式计算方法; 2.理解行列式的几何意义; 3.能结合专业场景用行列式解决问题; 4. 学会用软件处理高阶行列式 |
2 | 矩阵及其运算 | 1.矩阵定义; 2. 矩阵运算; 3. 逆矩阵的定义、求法 | 1. 熟练进行矩阵运算; 2. 理解逆矩阵的实际意义; 3. 能将专业问题转化为矩阵模型; 4. 掌握软件求逆矩阵的方法 |
3 | 向量组的线性相关性 | 1. 向量定义、向量组的线性组合; 2. 线性相关性判定; 3. 向量组的秩与极大无关组 | 1. 理解线性相关性的本质; 2. 掌握秩的计算与几何意义; 3. 能应用向量组分析专业数据; 4. 学会用软件处理高维向量组 |
4 | 线性方程组 | 1. 线性方程组的解; 2. 齐次/非齐次线性方程组的解结构 | 掌握方程组解的判定与求解方法; 2. 理解空间的维度与秩的关系 3. 应用:理工科包括电路电压的线性方程组求解;经管类包括产销平衡中的方程组应用; 4. 软件操作:Matlab求解大型线性方程组 |
5 | 相似矩阵与二次型 | 1. 特征值与特征向量; 2. 相似矩阵与矩阵对角化; 3. 二次型标准化 | 1. 掌握二次型标准化方法; 2. 能应用对角化解决优化问题; 3. 学会用软件处理复杂矩阵变换 |
以“学生为中心”“成果导向”为原则,结合线上线下混合式教学特点,将教学过程分为“课前预习—课中深入—课后巩固”三个环节,融入案例教学、软件实操、课程思政,形成“螺旋式提升”的教学策略。
教师通过“超星学习通”平台发布学习任务:
推送MOOC视频(如中国大学MOOC“线性代数”),聚焦“核心概念入门”(如:向量的几何意义);
发布引导性问题(如:如何用矩阵表示零件的平移变换?);
提供预习资料(如:“华罗庚矩阵论贡献”的思政阅读材料)。学生完成线上预习后,提交“疑问清单”(如:为什么逆矩阵存在的条件是行列式不为零?),教师基于清单调整课中教学重点。
采用“案例导入—理论讲解—实操演练—思政融入”四步教学法:
(1)案例导入:以专业场景案例开篇(如对经管类学生讲解“某工厂生产A、B两种产品,需消耗甲、乙、丙三种原料,如何通过线性方程组求解最优产量”),激发学习兴趣;
(2)理论讲解:针对学生预习中的疑问,简化推导过程,聚焦“原理本质”(如用“三维空间中的平面”类比“秩为2的向量组”);
(3)实操演练:教师演示软件操作(如用Matlab求解上述产量优化方程组),学生同步练习,教师巡回指导;
(4)思政融入:在讲解“矩阵论”时,插入“华罗庚在抗战时期坚持研究矩阵几何,为中国数学发展奠定基础”的案例,开展爱国主义教育。此外,课中通过“雨课堂”发起实时互动(如“判断下列向量组是否线性相关”的选择题),即时反馈学习效果。
(1)线上任务:学生通过“超星学习通”完成分层作业(基础题:计算矩阵的秩;提高题:用 Matlab 分析某企业的投入产出矩阵),平台自动批改客观题,教师批改主观题并标注共性问题;
(2)线下任务:以3~4人为小组,完成“线性代数应用小项目”(如机械专业“零件运动的矩阵变换模拟”、经管专业“地区经济指标的线性相关性分析”),提交项目报告;
(3)复习支持:教师上传课中录播视频,学生可反复观看“软件实操”“难点解析”片段,同时通过线上答疑群解决个性化问题。
OBE 理念下的考核需“兼顾过程与结果,关注能力与素养”,构建“多维度、全过程”的考核评价体系,避免“一考定终身”。考核内容分为“学习态度”“学习过程”“学习成果”三部分,权重分配如表2所示。
表 2 线性代数分多元化评价体系表
Table 2 Diversified evaluation system for linear algebra
评价维度 | 具体考核内容 | 占比 | 评价方式 |
过程性评价 | 1. 线下出勤率; 2. 线上MOOC学习时长、预习完成率 | 10% | 出勤率由课堂签到系统统计与线上学习数据 |
学习过程 | 1. 课后作业完成质量; 2. 课堂互动参与度(雨课堂答题、小组讨论) | 10% | 作业采用“基础分+创新分”(如用软件解决实际问题可加创新分);课堂互动按答题正确率、发言次数评分 |
学习成果 | 课程项目报告(小组) | 20% | 提交报告+成果展示,数学教师+专业教师联合评分 |
终结性评价 | 期末考试(含 50% 专业应用题) | 60% | 闭卷考试,分专业组命题,涵盖各专业核心应用 |
对比传统线性代数教学,本改革方案的创新点主要体现在以下四个方面。
传统教学采用“一刀切”模式,忽视不同专业的应用差异;本方案在“教学单元设计”“案例选择”“考核题型”中均融入专业特色。例如,对理工科学生侧重“工程中的矩阵变换、振动系统的特征值分析”,对经管类学生侧重“经济中的线性方程组、成本函数的二次型优化”,确保学生“学用结合”,提升学习动力。
本方案通过“三层思政融入”实现价值引领。
(1)“科学家精神”融入:介绍华罗庚、许宝騄等中国数学家在矩阵论、线性统计领域的贡献,培养爱国主义;
(2)“科学素养”融入:通过“线性方程组需‘多变量协同求解’”类比“团队协作的重要性”,通过“行列式计算需严谨步骤”强调“科学严谨性”;
(3)“时代精神”融入:结合“人工智能中的矩阵运算”讲解“科技自立自强”,激发学生创新意识。例如,在讲解“二次型标准化”时,引入“中国高铁轨道优化中,通过二次型标准化降低振动误差”的案例,既体现线性代数的应用价值,又传递“精益求精的工匠精神”。
传统教学存在“课前无预习、课中无互动、课后无巩固”的问题;本方案通过“线上预习—课中解决疑问—课后项目巩固”形成闭环:
(1)课前线上 MOOC 解决“基础概念”,课中聚焦“难点突破与应用”,提升教学效率;
(2)课中线上互动(雨课堂)实时反馈学情,教师动态调整教学节奏;
(3)课后线上作业结合线下项目,兼顾“个体巩固”与“团队协作”,实现“初阶理论学习→中阶软件实操→高阶项目应用”的螺旋式提升。例如,学生在“线性方程组”章节中,先通过线上 MOOC 掌握“解的判定定理”,课中通过案例学习“实际应用”,课后通过小组项目“求解某医院的药品调配方程组”,完成从“知识到能力”的转化。
本方案将“软件操作”贯穿教学全过程,从“课前预习”的软件入门视频,到“课中”的教师演示与学生练习,再到“课后”的软件作业与项目,确保学生掌握 Matlab的核心功能;同时,以“项目考核”替代部分理论考试,要求学生完成“专业相关的线性代数应用项目”,如机械专业“基于矩阵变换的零件三维建模”、经管专业“基于线性方程组的产销平衡分析”。例如,某经管专业小组在项目中,通过 Python处理某超市的“商品—销量—价格”矩阵,建立线性方程组求解“最优促销方案”,提交的报告包含“问题分析、模型构建、软件代码、结果解释”四部分,充分体现“理论+实践”的综合能力。
本文基于 OBE 理念,针对线性代数传统教学的“理论抽象、应用薄弱、思政缺失、模式滞后”问题,构建了“目标—单元—策略—考核”闭环的混合式教学模式:通过分专业的教学单元设计,实现“理论与专业结合”;通过“课前—课中—课后”线上线下联动,提升教学效率;通过“案例+思政”融合,实现价值引领;通过“软件实操+项目考核”,培养实践能力。实践表明,该模式能显著提升学生的理论掌握、实践能力与学习兴趣,为线性代数教学改革提供了可行路径。
[1] 王艳,李刚.大数据时代线性代数教学改革的探索与实践[J].大学数学,2021,37(4):1-5.
[2] 张莉,刘军.基于 OBE 理念的线性代数课程教学设计[J].高教学刊,2020(28):136-138.
[3] 教育部高等学校数学类专业教学指导委员会.高等学校数学类专业本科教学质量国家标准[M].北京:高等教育出版社,2018.
[4] 陈静,赵军.线性代数课程中融入课程思政的实践路径[J].数学教育学报,2022,31(3):89-93.
[5] 李明,王娟.人工智能背景下线性代数教学内容的优化研究[J].计算机教育,2023(2):156-160.
[6] 李娜,张伟.混合式教学模式在线性代数课程中的实践——以“矩阵变换与图像压缩”项目为例[J].大学数学,2024,40(3):78-85.
[7] 王浩,刘敏.线性代数课程思政“三维映射”框架的构建与应用[J].数学教育学报,2024,33(2):92-98.