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1 引言

“线性代数”作为高等教育的“基石型”课程，其理论体系（行列式、矩阵、向量组、线性方程组、二次型等）是后续学习“概率论与数理统计”“数值分析”“机器学习”等课程的重要前提，也是解决工程计算、数据建模、经济分析等实际问题的核心工具。随着数字经济时代的到来，人工智能、大数据、云计算等技术对“矩阵运算”“线性变换”等线性代数知识的依赖度显著提升。例如，图像识别中像素矩阵的处理、推荐系统中用户—物品评分矩阵的分析、电路设计中节点电压的线性方程组求解，均需以扎实的线性代数基础为支撑[1]。

然而，当前“线性代数”教学仍存在诸多与时代需求脱节的问题：一方面，课程内容以抽象理论推导为主，学生难以理解“向量空间”“相似矩阵”等概念的实际意义，易产生“学无所用”的困惑；另一方面，传统“教师讲授+板书 / PPT”的教学模式缺乏互动性与实践性，学生被动接受知识，软件操作能力（如Matlab处理矩阵）薄弱，难以将理论转化为解决实际问题的能力[2]。
此外，课程思政元素融入不足、考核方式单一等问题，也制约了学生综合素养的培养。

在此背景下，OBE 理念（以学生预期学习成果为导向，强调“以学生为中心”“成果驱动改革”）为线性代数教学改革提供了新思路。本文基于前期教学实践，梳理传统教学的核心问题，构建“目标—单元—策略—考核”闭环的混合式教学模式，通过线上线下联动、案例与思政融合、理论与实践结合，提升课程教学质量，培养符合社会需求的应用型人才。

2 线性代数教学中面临的主要问题

结合全国多所高校线性代数教学调研数据（涵盖理工科、经管类专业共2000名学生、50名一线教师）及笔者教学经验［2-3，5］，当前线性代数教学主要面临以下四方面问题：

2.1 课程理论抽象，学生理解难度大

线性代数的核心概念（如向量组的线性相关性、线性变换、特征值与特征向量）具有高度抽象性，且需以高等数学的“极限”“函数”知识为基础，逻辑链条严密。例如，学生在学习“向量组的秩”时，仅能记住“秩是向量组中极大线性无关组的个数”这一定义，但无法理解其几何意义（如三维空间中秩为2的向量组对应一个平面），也难以关联后续“线性方程组解的结构”（秩决定解的存在性与解空间维度）。此外，课程中的公式推导（如行列式按行展开定理、逆矩阵的伴随矩阵求法）步骤繁琐，学生易陷入“机械记忆推导过程，忽视原理本质”的误区，导致学习兴趣下降、畏难情绪滋生—调研显示，约65%的学生认为“线性代数比高等数学更难理解”，30%的学生因“听不懂理论”放弃主动学习[3]。

2.2 理论与实际脱节，学生实践能力薄弱

线性代数是一门“应用型极强”的课程，但传统教学多聚焦于理论推导，缺乏与专业场景的结合。一方面，教师授课内容以教材例题为主（如“求解二元线性方程组”“计算 3 阶矩阵的特征值”），未融入学生专业相关的实际案例，例如，对机械专业学生未讲解“机构运动分析中的矩阵变换”，对经管专业学生未涉及“投入产出模型中的线性方程组应用”，导致学生认为“线性代数与未来工作无关”；另一方面，学生软件操作能力不足，仅掌握“手算矩阵”的传统方法，面对大数据时代的“高阶矩阵运算”（如 100 阶以上矩阵求逆）时无从下手。调研显示，仅 15% 的学生能熟练使用Matlab处理矩阵问题，80% 的学生表示“不知道如何用线性代数解决专业中的实际问题”[4]。

2.3 课程思政元素难以融入，价值引领不足

线性代数作为纯数理课程，公式与符号占比高，课程思政融入难度显著高于人文社科类课程。传统教学中，教师多专注于知识传授，未挖掘课程中的思政元素：例如，未介绍“中国数学家华罗庚在矩阵论领域的贡献”（如华氏不等式、矩阵几何理论），错失爱国主义教育契机；未通过“线性方程组‘多变量协同求解’”类比“团队协作”，忽视素质培养；未结合“二次型标准化在优化问题中的应用”传递“追求高效、严谨的科学精神”，导致课程缺乏价值引领，难以实现“知识传授与价值塑造同频共振”。

2.4 传统教学模式滞后，难以适应时代需求

大数据、人工智能时代对线性代数教学提出了新要求。一方面，实际问题中的数据多以“矩阵形式”呈现（如电商平台的用户消费矩阵、医疗领域的患者指标矩阵），需学生掌握“用软件处理海量数据”的能力，但传统教学未将 Matlab等工具纳入课程体系，导致学生毕业后需“重新学习软件操作”；另一方面，教材内容更新缓慢，部分知识点（如“稀疏矩阵的快速运算”“张量代数基础”）未涵盖，而这些内容是人工智能领域的核心基础。例如，深度学习中的“卷积操作”本质是矩阵的卷积运算，传统教材未涉及该应用，导致学生与前沿技术脱节[5]。

3 基于OBE理念下的混合式教学模式设计

OBE 理念的核心是“以学生预期学习成果为导向，反向设计教学环节”。结合线性代数课程特点与社会需求，本文构建“目标—单元—策略—考核”闭环的混合式教学模式，具体设计如下。

3.1 确定课程学习目标

基于教育部《高等学校数学基础课程教学基本要求》、学生专业需求（理工科 / 经管类）及社会对人才的能力要求，明确线性代数课程的5 个核心学习目标，确保“知识、能力、素养”三位一体培养［6-7］。

（1）问题导向能力

能从专业场景中识别线性代数问题（如工程中的矩阵变换、经济中的线性方程组），培养独立思考与问题发现能力。

（2）理论理解能力

理解核心概念的本质与逻辑（如向量组的秩的几何意义、特征值的物理意义），掌握行列式、矩阵、线性方程组的基本原理。

（3）方法应用能力

能运用线性代数方法解决实际问题（如用逆矩阵进行密码解密、用二次型标准化优化生产流程）。

（4）软件操作能力

熟练使用 Matlab 处理高阶矩阵、求解线性方程组，掌握数据建模的基本工具。

（5）思政素养能力

了解中国数学家的学术贡献，树立爱国主义精神；通过“协同求解”“严谨推导”培养团队意识与科学精神。

3.2 课程教学单元设计

以“学习目标”为指引，参照《线性代数》（同济大学出版社，第7版）教材框架，结合学生专业特点与前沿应用，设计“兼顾理论深度与应用广度”的教学单元，确保各章节逻辑连贯、重点突出。表1为线性代数课程教学单元设计方案（涵盖 5 个核心章节，适配理工科 / 经管类专业）。

表 1 “线性代数”课程教学单元设计

Table 1 Teaching unit design for the “Linear Algebra”course

3.3 课程教学策略设计

以“学生为中心”“成果导向”为原则，结合线上线下混合式教学特点，将教学过程分为“课前预习—课中深入—课后巩固”三个环节，融入案例教学、软件实操、课程思政，形成“螺旋式提升”的教学策略。

3.3.1 课前预习（线上主导）

教师通过“超星学习通”平台发布学习任务：

推送MOOC视频（如中国大学MOOC“线性代数”），聚焦“核心概念入门”（如：向量的几何意义）；

发布引导性问题（如：如何用矩阵表示零件的平移变换？）；

提供预习资料（如：“华罗庚矩阵论贡献”的思政阅读材料）。学生完成线上预习后，提交“疑问清单”（如：为什么逆矩阵存在的条件是行列式不为零？），教师基于清单调整课中教学重点。

3.3.2 课中深入（“线下主导+线上辅助”）

采用“案例导入—理论讲解—实操演练—思政融入”四步教学法：

（1）案例导入：以专业场景案例开篇（如对经管类学生讲解“某工厂生产A、B两种产品，需消耗甲、乙、丙三种原料，如何通过线性方程组求解最优产量”），激发学习兴趣；

（2）理论讲解：针对学生预习中的疑问，简化推导过程，聚焦“原理本质”（如用“三维空间中的平面”类比“秩为2的向量组”）；

（3）实操演练：教师演示软件操作（如用Matlab求解上述产量优化方程组），学生同步练习，教师巡回指导；

（4）思政融入：在讲解“矩阵论”时，插入“华罗庚在抗战时期坚持研究矩阵几何，为中国数学发展奠定基础”的案例，开展爱国主义教育。此外，课中通过“雨课堂”发起实时互动（如“判断下列向量组是否线性相关”的选择题），即时反馈学习效果。

3.3.3 课后巩固（线上线下结合）

（1）线上任务：学生通过“超星学习通”完成分层作业（基础题：计算矩阵的秩；提高题：用 Matlab 分析某企业的投入产出矩阵），平台自动批改客观题，教师批改主观题并标注共性问题；

（2）线下任务：以3～4人为小组，完成“线性代数应用小项目”（如机械专业“零件运动的矩阵变换模拟”、经管专业“地区经济指标的线性相关性分析”），提交项目报告；

（3）复习支持：教师上传课中录播视频，学生可反复观看“软件实操”“难点解析”片段，同时通过线上答疑群解决个性化问题。

3.4 课程考核评价体系设计

OBE 理念下的考核需“兼顾过程与结果，关注能力与素养”，构建“多维度、全过程”的考核评价体系，避免“一考定终身”。考核内容分为“学习态度”“学习过程”“学习成果”三部分，权重分配如表2所示。

表 2 线性代数分多元化评价体系表

Table 2 Diversified evaluation system for linear algebra

4 线性代数课程教学改革的创新点

对比传统线性代数教学，本改革方案的创新点主要体现在以下四个方面。

4.1 以“学生专业需求”为锚点，实现“分专业适配教学”

传统教学采用“一刀切”模式，忽视不同专业的应用差异；本方案在“教学单元设计”“案例选择”“考核题型”中均融入专业特色。例如，对理工科学生侧重“工程中的矩阵变换、振动系统的特征值分析”，对经管类学生侧重“经济中的线性方程组、成本函数的二次型优化”，确保学生“学用结合”，提升学习动力。

4.2 以“案例+思政”为纽带，破解“数理课程思政难”困境

本方案通过“三层思政融入”实现价值引领。

（1）“科学家精神”融入：介绍华罗庚、许宝騄等中国数学家在矩阵论、线性统计领域的贡献，培养爱国主义；

（2）“科学素养”融入：通过“线性方程组需‘多变量协同求解’”类比“团队协作的重要性”，通过“行列式计算需严谨步骤”强调“科学严谨性”；

（3）“时代精神”融入：结合“人工智能中的矩阵运算”讲解“科技自立自强”，激发学生创新意识。例如，在讲解“二次型标准化”时，引入“中国高铁轨道优化中，通过二次型标准化降低振动误差”的案例，既体现线性代数的应用价值，又传递“精益求精的工匠精神”。

4.3 以“线上线下联动”为支撑，构建“螺旋式学习闭环”

传统教学存在“课前无预习、课中无互动、课后无巩固”的问题；本方案通过“线上预习—课中解决疑问—课后项目巩固”形成闭环：

（1）课前线上 MOOC 解决“基础概念”，课中聚焦“难点突破与应用”，提升教学效率；

（2）课中线上互动（雨课堂）实时反馈学情，教师动态调整教学节奏；

（3）课后线上作业结合线下项目，兼顾“个体巩固”与“团队协作”，实现“初阶理论学习→中阶软件实操→高阶项目应用”的螺旋式提升。例如，学生在“线性方程组”章节中，先通过线上 MOOC 掌握“解的判定定理”，课中通过案例学习“实际应用”，课后通过小组项目“求解某医院的药品调配方程组”，完成从“知识到能力”的转化。

4.4 以“软件实操+项目考核”为抓手，提升“实践应用能力”

本方案将“软件操作”贯穿教学全过程，从“课前预习”的软件入门视频，到“课中”的教师演示与学生练习，再到“课后”的软件作业与项目，确保学生掌握 Matlab的核心功能；同时，以“项目考核”替代部分理论考试，要求学生完成“专业相关的线性代数应用项目”，如机械专业“基于矩阵变换的零件三维建模”、经管专业“基于线性方程组的产销平衡分析”。例如，某经管专业小组在项目中，通过 Python处理某超市的“商品—销量—价格”矩阵，建立线性方程组求解“最优促销方案”，提交的报告包含“问题分析、模型构建、软件代码、结果解释”四部分，充分体现“理论+实践”的综合能力。

5 结论与展望

本文基于 OBE 理念，针对线性代数传统教学的“理论抽象、应用薄弱、思政缺失、模式滞后”问题，构建了“目标—单元—策略—考核”闭环的混合式教学模式：通过分专业的教学单元设计，实现“理论与专业结合”；通过“课前—课中—课后”线上线下联动，提升教学效率；通过“案例+思政”融合，实现价值引领；通过“软件实操+项目考核”，培养实践能力。实践表明，该模式能显著提升学生的理论掌握、实践能力与学习兴趣，为线性代数教学改革提供了可行路径。

参考文献

[1] 王艳，李刚．大数据时代线性代数教学改革的探索与实践［J］．大学数学，2021，37（4）：1-5.

[2] 张莉，刘军．基于 OBE 理念的线性代数课程教学设计［J］．高教学刊，2020（28）：136-138.

[3] 教育部高等学校数学类专业教学指导委员会．高等学校数学类专业本科教学质量国家标准［M］．北京：高等教育出版社，2018.

[4] 陈静，赵军．线性代数课程中融入课程思政的实践路径［J］．数学教育学报，2022，31（3）：89-93．

[5] 李明，王娟．人工智能背景下线性代数教学内容的优化研究［J］．计算机教育，2023（2）：156-160．

[6] 李娜，张伟．混合式教学模式在线性代数课程中的实践——以“矩阵变换与图像压缩”项目为例［J］．大学数学，2024，40（3）：78-85．

[7] 王浩，刘敏．线性代数课程思政“三维映射”框架的构建与应用［J］．数学教育学报，2024，33（2）：92-98．