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常用的刚性支座如活动铰支座、固定铰支座和固定支座是一种理想化的支座，工程实际中的支座更接近于弹性支座，例如抗转弹性支座、抗移弹性支座等，因此讨论弹性支座上超静定结构的计算具有工程实际意义。力矩分配法不需建立和求解典型方程，物理概念生动形象，适合于手算，是一种简便易行的方法[1]。郭绍臣[2]提出了用力矩分配法计算抗转弹性支座上的刚架，导出了抗转弹性支座梁的形常数与载常数的计算公式。本文将研究用力矩分配法对具有抗移弹性支座的超静定结构进行计算。首先推导了具有抗移弹性支座单跨超静定梁的转动刚度和常见荷载作用下梁的固端弯矩，然后给出超静定刚架的具体算例。

1 具有抗移弹性支座单跨超静定梁的转动刚度（形常数）

由于刚性支座上单跨超静定梁的转动刚度不能应用于弹性支座，需推导出具有抗移弹性支座的单跨超静定梁的转动刚度。图1（a）为B端具有抗移弹性支座的单跨超静定梁，设抗移弹性支座的刚度为k。当A端转动单位角时，A端的弯矩即为A端的转动刚度，用SAB表示，其可用力法计算出。选取力法的基本体系如图1（b）所示，则力法方程为：

δ11 X1=1 （1）

作出M1图如图1（c）所示，此时B端的竖向反力为1/l，方向向上。根据图乘法得：

δ11=+ （2）

将式（2）代入式（1），得：

X1= 

由转动刚度的定义可知A端的转动刚度SAB=X1，式中β=，反映B端抗移弹性支座的影响系数，其值β∈［0，∞）。当k→∞，即β→∞时，相当于B端为活动铰支座，此时SAB=3EI/l。当k=0，即β=0时，相当于B端为自由端，此时SAB=0。当EI→∞，即为刚性梁时，此时SAB=kl2[3]。

因为B端为铰支端，A端向B端的传递系数CAB=0。

图 1 A端转动单位角时，A端的转动刚度

Figure 1 Rotation stiffness at end A when there is unit angle at end A

2 具有抗移弹性支座单跨超静定梁的固端弯矩（载常数）

用力矩分配法计算具有抗移弹性支座的超静定结构，还需知道对应的单跨超静定梁在常见荷载作用下的固端弯矩。下面以图2（a）所示均布荷载作用下梁的固端弯矩计算为例进行介绍。选取力法的基本体系如图2（b）所示，则力法方程为：

δ11 X1+Δ1P=0 （3）

分别作M1图、MP图，并求出相应的B端竖向反力如图2（c）、（d）所示，则：

δ11=+，Δ1P=+ （4）

将式（4）代入式（3），得：

X1=- ql2 

则A端的固端弯矩MFAB=X1，当k→∞时，B端为活动铰支座，此时MFAB=-ql2/8。当k=0时，B端为自由端，此时MFAB=-ql2/2。当EI→∞时，即为刚性梁，此时MFAB=-ql2/2。

图 2 均布荷载作用下梁的固端弯矩

Figure 2 Fixed-end bending moment of the beam under uniformly distributed load

其它常见荷载作用下梁的固端弯矩的推导方法与均布荷载下的相同，此处不再赘述。为了应用方便，把具有抗移弹性支座单跨超静定梁在各种情况下A端的弯矩列于表1中，B端弯矩恒有MBA=0。

表 1 各种情况下具有抗移弹性支座单跨超静定梁的杆端弯矩

Table 1 Bending moment at end A of single-span statically indeterminate beam with elastic translational support in various cases

3 具体算例

由于具有抗移和抗转弹性支座[2]单跨超静定梁的转动刚度、传递系数和固端弯矩已经推导出，用力矩分配法计算此类弹性支座下超静定结构的方法与刚性支座下的完全相同。下面给出具体的算例，如图3所示的超静定刚架，B端和C端有抗移弹性支座，刚度系数分别为k1=，k2=；D端有抗转弹性支座，刚度系数为kθ=。试用力矩分配法计算图示荷载作用下超静定刚架的弯矩。

图 3 具有弹性支座的超静定刚架

Figure 3 A statically indeterminate rigid frame with elastic support

解：B、C端抗移弹性支座的影响系数分别为β1=2.5，β2=24。D端抗转弹性支座的影响系数为β3=4[2]。

则各杆的转动刚度为：

SAB=k1 l2=，SAC= =，SAD= =[2]

分配系数为：

μAB==0.221，μAC=0.470，μAD=0.309

传递系数为：

CAB=CAC=0，CAD===[2]

固端弯矩为：

MFAB= ql2=40 kN·m，MFAC=-·=-35.56 kN·m，

MFAD= ql2·=50 kN·m[2]，MFDA=- ql2·=-20 kN·m[2]

其余的计算列于表2中。

表 2 用力矩分配法计算具有弹性支座的超静定刚架

Table 2 Calculation of a statically indeterminate rigid frame with elastic support by moment distribution method

4 结语

本文用力矩分配法对具有抗移弹性支座的超静定结构进行了分析，推导了具有抗移弹性支座单跨超静定梁的转动刚度以及常见荷载作用下梁的固端弯矩，并给出超静定刚架的具体算例。若已知弹性支座单跨静定梁的转动刚度、传递系数和固端弯矩，用力矩分配法计算此类弹性支座下超静定结构的方法与刚性支座下的完全相同，这拓宽了力矩分配法应用的支座范畴。而文中表1所列的抗移弹性支座梁的杆端弯矩是对结构力学教材中位移法所列的单跨超静定梁杆端弯矩的表格的极好补充。

参考文献

[1] 李廉锟．结构力学［M］．北京：高等教育出版社，2017：362．

[2] 郭绍臣．用力矩分配法计算弹性转动支座上的刚架［J］．沈阳建筑工程学院学报，1995，11（4）：337-340．

[3] 于玲玲，杨正光．结构力学（第二版）［M］．北京：中国电力出版社，2016：463．